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A álgebra homológica é um assunto central na matemática moderna. Ela fornece ferramentas indispensáveis em topologia, álgebra e teoria das categorias. O teorema da sizígia de Hilbert é um resultado fundamental  da álgebra comutativa.No trabalho, apresentamos os principais conceitos e resultados da álgebra homológica, em anéis não necessariamente comutativos. Para isso, apresentamos no contexto mais geral através de categorias abelianas, introduzindo as principais noções como: objectos projectivos, objectos injectivos, módulos planos, resoluções projetivas e injectivas. Também apresentamos uma ferramenta clássica de álgebra homológica que é o functor derivado, cujo exemplos mais básicos são Ext e Tor.Por fim, apresentamos a prova do teorema da sizígia de Hilbert sobre dimensão global, que diz respeito às relações, ou sizígias na terminologia de Hilbert, entre os geradores de um ideal, ou, mais genericamente um módulo. O teorema da sizígia de Hilbert afirma que, se M é um módulo finitamente gerado sobre um anel polinomial  em n indeterminados sobre um corpo k, então o n-ésimo módulo da sizígia de M é sempre um módulo livre.

 

Palavras-chave: Álgebra homológica, categorias, functor, sizígia de Hilbert.