Na física e engenharia é comum o emprego da esfera do Poincaré para estudar o estado de polarização das ondas eletromagnéticas, é muito empregado o diagrama do Smith como método gráfico para acoplamentos de impedâncias em linhas de transmissão, a arte dos círculos limites do Escher é reconhecido no ambiente artístico, o espaço-tiempo do Minkowski é uma variedade de quatro dimensões empregada para descrever os fenômenos físicos no âmbito da teoria especial da relatividade, a geometria do Lovachevski é uma das variantes da geometria não euclidiana.

Os objetivos do presente estudo são: primeiro, estabelecer relações essenciais comuns do ponto de vista conceptual entre todas estas áreas aparentemente distantes; segundo, estabelecer algumas implicações práticas partindo do método da analogia.

Como resultado se pode estabelecer que as projeções da esfera de polarização do Poincaré em um plano complexo arrojam como resultado as conhecidas cartas do Carter e Smith utilizadas para calcular acoplamentos de impedâncias em engenharia elétrica. Analogamente, a projeção de uma pseudoesfera em um plano complexo arroja o espaço-tiempo do Minkowsky. Finalmente, os famosos círculos limites das gravuras artísticas do Escher se podem desenhar empregando o diagrama do Smith.

Como conclusão se aprecia que o fundamento que sustenta todas estas interconecciones pode atribuir-se a invarianza da razão cruzada de quatro números complexos sujeitos a uma transformação do Mobius, a qual é empregada pelo Poincaré para definir a distância no modelo aberto de espaço hiperbólico do Lovachevsky.